初二拓展课|费马与费马点
本学期，除了正常推进的数学课外，笔者也准备些有趣的数学拓展问题，以提高学生数学学习兴趣，锻炼学生数学思维……
（本节课于9月4日下午第三节初二4班、9月6日下午第3节初二3班进行）
费马与费马点
著名数学家
皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。被誉为“业余数学家之王”
1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利（Evangelista Torricelli,1608–1647)的私人信件中，费马提出了下面这个富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答
给定不在一条直线上的三个点 A,B,C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点的位置
托里拆利
托里拆利因为发明水银气压计而闻名于世，但他同时也是一个卓越的数学家，特别在几何方面有很深的造诣。托里拆利和当时意大利的第一号科学家伽利略过从密切，深受伽利略器重。在伽利略去世后，受意大利托斯卡纳大公国费迪南多二世大公的邀请，托里拆利继任伽利略担任比萨大学的数学教授和大公的专聘宫廷数学家。鉴于托里拆利是当时全欧洲的知名“职业数学家”、职业为律师的费马写信向他请教是很自然的。
没有令费马失望，托里拆利成功地解决了费马的问题。他给出的答案是：
对 △ABC 三条边的张角都等于120°，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ＝ 120°的点 P就是到点 A,B,C 的距离之和最小的点
托里拆利给出的解答费马本人可能早已知道——如果他写信向托里拆利“请教”真的是为了挑战托里拆利，那样的话他们俩就是不谋而合，“英雄所见略同”了。后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点 A,B,C 距离之和最小的点称为△ABC的费马-托里拆利点
正所谓“智者千虑，必有一失”，托里拆利的解答其实并不完全正确，其中有一个很大的漏洞。（留待后文介绍）最早指出托里拆利的解答中的漏洞的是另一个与托里拆利同时代的意大利数学家卡瓦列里。
费马点的几何证明
怎么证明三条线段和最短呢？一个很自然的想法是把问题中的三条线段 PA、PB、PC"拼接"成连接两个定点的一条折线
之前是否有此先例呢？有！就是我们熟悉的“将军饮马问题”
点A、点B在直线L同侧，试在直线L上找一点C，使AC+BC最短
思
当点A、点B在直线L异侧时，不难发现点C即线段AB与直线L的交点(两点之间线段距离最短)
化
那如果点A、点B在直线L同侧呢？能否将其中一个点转化到直线L的另一侧呢？由此可以想到以直线L为对称轴，做点A的对称点A'，根据轴对称的性质，对于直线l上的任一点C都有AC=A'C，由此AC+BC最短也就转化为AC'+BC最短
联结A'B，线段A'B与直线L的交点即为所求点C
拓
点P是∠BAC内一点，在∠BAC的两边各找点M、N，使得PM+MN+NP最短？
“将军饮马问题”实际运用了轴对称变换，将线段“拼接”在了一起，而费马点问题又该如何呢？我们可以试着把△ABP绕点A逆时针旋转60°（想一想为什么要旋转60°？）
此时△PAP'形成等边三角形，利用旋转变换，将线段AP、BP、PC拼接到了一起，
显然：AP+PB+PC=AP+PP'+P'C'≥CC'
你明白了吗？
那么这个点P具有怎样的性质呢？
由此可见，∠APC=∠AP'C'=120°，
∠APP'=60°，∴ ∠P'PC=60°，∴ ∠BPC=120°
∴ ∠APB=120°（问题得证）
您发现了吗？由于∠BPC>∠BAC，所以三角形不能有任意一个角大于等于120°，否则在三角形形内就找不到“费马点”，这就是当年托里拆利回答的漏洞
如何找赛马点
对于没有一个内角大于等于120°的三角形而言寻找赛马点的方法是：以AB、AC为边，在△ABC外侧分别构造等边△ADB、等边△ACE，连接CD、BE交于点P，点P就是费马点。
对此我们该如何证明呢？
（即证明∠APB=∠APC=∠BPC=120°）
忆
大家想一想，这个图是否似曾相识？对！这就是我们之前重点研究过的两个等边三角形手拉手模型！大家思考下，对于这个模型而言有什么不变的几何性质与几何关系？
易证△ADC≌△ABE，则∠AEB=∠ACP
∴ ∠BPC=∠ACE+(∠PEC+∠ACP)
=∠ACE+∠AEC=120°
从初三视角
∵ ∠AEP=∠ACD，点A、P、C、E四点共圆
∴ ∠APE=∠ACE=60°继而易证∠APC=120°
从初二视角
全等三角形对应边上的高相等，
可得AH1=AH2
由于点A到PD、PE距离相等
可得点A在∠DPE的角平分线上即PA平分∠DPE
从而不难证明∠APB=∠APC=120°
想到讲费马点，源于我校6月初一期末的数学考卷，"费马点"就是该张试卷的最后一题，由于临近放假，讲解仓促，但不想错过这么好的数学素材故隔了一个暑假，再与同学重新品味。
就这节内容而言，非常精彩，既有"翻折变换"又有"旋转变换"但归根结底是划归思想，通过添加辅助线将分散的线段拼接，又比如“等边三角形”手拉手模型是初中阶段重要的数学模型，通过研究它，既能锻炼学生角度推演能力，更能让同学体会到几何变化中不变元素与不变关系。
对于数学拓展课这个课型而言，笔者认为有些适宜让学生思考、探究，有些难度过大还是以讲授为主，而数学史的材料既是引入更是问题的线索。
心动不如行动，下周我会实践这节课，您若感兴趣，也可一试……
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